Известно, что действительные числа можно "разместить" на прямой. Более точно, между действительными числами, образующими множество действительных чисел IR, и точками, лежащими на прямой L, существует взаимно одно-.. значное соответствие, т.е. Введем на плоскости Р декартовы координаты х,у. Тогда, как известно, каждой точке А однозначно соответствует пара действительных чисел.

Попытаемся найти теперь пространственные числа, т.е. множества чисел, которые соответствуют точкам в пространстве. Коль скоро в пространстве П каждая точка характеризуется тремя действительными числами, являющимися ее декартовыми координатами х, у, z, то следует предположить, что пространственные числа должны иметь следующий вид.

В последней формуле надо воспользоваться равенствами (1.6), и тогда в результате умножения чисел вида (1.5) будут получаться числа того же вида (требование замкнутости относительно операции умножения). Какие типы пространственных чисел мы получим? Ответ дает следующая.

При п = 2 имеем плоские числа, при п - 4 - множества кватернионов Гамильтона, псевдокватернионов, вырожденных кватернионов, вырожденных псевдокватернионов и дважды вырожденных кватернионов, т.е. пять типов чисел. Кватернионы не коммутативны относительно умножения. При п = 8 получаются несколько множеств октав Кэлли. Числа Кэлли не коммутативны и не ассоциативны относительно умножения [40].

Комплексное число как точка на плоскости имеет в декартовых координатах две геометрические характеристики: расстояние до начала координат г - \z\ и угол <р = arctg{j31а), отсчитываемый от оси х против часовой стрелки. Указанный угол, определяемый с точностью до 2Аж, называют аргументом числа z. Аргумент обозначают как arg z. Его значение, лежащее в промежутке (-7г,7г], называют главным и записывают в виде Arg z.