Следовательно, для каждой фиксированной точки z степенной ряд представляет собой числовой ряд, который изучалися в гл.1. Множество точек сходимости ряда (3.11) состоит из точек z, для которых предел (3.12) сходится. Для любого ряда нахождение множества сходимости является важнейшей задачей.

Исследование степенных рядов позволило прийти к следующей теореме. Теорема 3.2. Либо степенной ряд сходится для любой точки z 6 (D, либо сходится только в точке го, либо существует число R > О такое, что ряд (3.11) сходится при любом z из открытого круга K(zo, R) и расходится в области {zЈ(D:|z - го|>Д}. Доказательство см. в [3, с.47-48].

Таким образом, мы имеем функции, которые, будучи ограниченными только на действительных числах, совпадают с известными из тригонометрии функциями cosx и sinx. Однако следует отметить, что, хотя действительные тригонометрические функции ограничены по абсолютной величине, т.е. | sinx| < 1, | cosx| < 1, это не верно для произвольной комплексной переменной (рис.3.2).

В этой главе мы научимся интегрировать комплексные функции. Интеграл от комплексной функции вычисляется по некоторой кривой, лежащей на плоскости. Поэтому не удивительно, что он сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от действительных дифференциальных форм.