Множество точек комплексной плоскости, лежащих внутри кривой Го и вне каждой кривой Fk, к = 1, ...,тп, называется (тп + 1)-связной областью. Очевидно, что граница (т + 1)-связной области состоит из (т + 1)-го "куска" - Го,Гх,...,Гт (рис. 4.1, а)). Односвязная область - это 1-связная область (рис. 4.1, Ь)). Под многосвязной областью понимают (т+1)-связную область с т > 1.

Теорема 4.2. Пусть /:?>-> (Е аналитическая функция в одно-связной области D и Г кусочно гладкая замкнутая кривая Жор-дана, лежащая в D. Следствие 4.1. Пусть f : D ->(Е аналитическая функция в одно-связной области D и Г1,Гг две гладкие кривые с общим началом и концом, лежащие в D. Как показывает следующий пример, теорема Коши не верна для многосвязных областей.

Продемонстрируем Схему доказательства теоремы на примере 2-связной области. Проведем разрез области D по кривой Г С D, соединяющей некоторую точку кривой I\ с кривой Го (см. рис.4.2). Рассмотрим кусочно гладкую4 кривую Г = Го U Г~ U Ti U Г. Область D, ограниченная кривой Г, односвязна. Методы вычисления интеграла Коши во многом похожи на методы вычисления определенных интегралов в теории функций действительной переменной.

Пусть в области D задана комплексная функция / : D -"<Е. Аналитическая функция F : D -? (D называется первообразной функции / в области D, если F'(z) = f(z) для всех z G D. Следствие 4.1 позволяет доказать следующую теорему, которая говорит, что аналитическая функция w - f(z) всегда имеет первообразную в односвязной области.