Дополним декартову систему координат на комплексной плоскости (С третьей координатой z и построим сферу 52 с центром в точке (0,0,1/2) и радиусом г = 1/2. Возьмем точку а € S2,a ф Я = (0,0,1), на сфере и проведем луч с началом в "северном полюсе" Я, проходящий через о. Луч пересечет плоскость в точке s(a). Получили отображение s : S2 \ {Я} ->-<Е. Это отображение называется стереографической проекцией, а сфера S - сферой Римана. У каждого комплексного числа есть прообраз на сфере. Только точке Я не удается приписать никакую точку плоскости. Более того, чем ближе точка а к Я, тем дальше "в бесконечность" по плоскости (D уходит точка s(a). Для того чтобы найти образ для Я, добавляют к плоскости (D особую точку (которой нет на плоскости!), обозначаемую символом оо и называемую бесконечно удаленной точкой. Множество Ф = (D U {оо} называют расширенной комплексной плоскостью.

С точки зрения топологии (см.§1.4), расширенная комплексная плоскость Ф является сферой; это и устанавливается с помощью стереографической проекции.

Пределом последовательности {zn} называют число a ? (D такое, что для всякого действительного числа е > 0 найдется по 6 IN, обладающее свойством: для каждого п > по \zn - а\ < е. Символически это записывают в виде. Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится. В противном случае речь идет о расходящейся последовательности. Фундаментальная последовательность (или последовательность Коши) - это такая последовательность, для которой какое бы е > 0 мы ни взяли, найдется номер по 6 IN такой, что для любых п,т > по \zn - zm\ < e. Критерий Коши-Вольцано. Для того чтобы, последовательность {zn} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы бы она была фундаментальной. Доказывается это утверждение так же как в действительном анализе.

Пусть v : IN -> IN произвольное отображение, a z : IN ->(D последовательность. Суперпозиция z о v называется подпоследовательностью последовательности {zn}. Полагая zV]t - [zov)(k) = z{v{k)) = 2"(fc)i будем обозначать подпоследовательность как {2ivfc}. Частичный предел или предельная точка последовательности {zn} - это предел подпоследовательности. Для сходящейся последовательности все ее предельные точки совпадают с ее пределом. Учитывая существования расширенной комплексной плоскости, для расходящейся последовательности, не имеющей предельных точек на плоскости (Г, можно написать, что 1ш1"-юо Zn - 00.