Комплексная функция- это отображение вида / : D ->(Е, где Dc(C называют областью определения функции / (рис.1.5). Для функции используется удобная запись: w = f(z). Поскольку в теории множеств под отображениями, как правило, понимаются однозначные отображения, т.е. каждому z Ј D отвечает только одно число f{z), то комплексная функция по определению считается однозначной. Специфика комплексного анализа, отличающая его от действительного анализа, заключается в том, что в нем изучаются и многозначные функции. Более того, изучение многозначных функций составляет весьма важную и значительную часть комплексного анализа.

Однолистной функцией называют взаимно однозначную (инъ-ективную) комплексную функцию w - f(z). Такая функция обладает свойством: если z\ ф z-2, то f{z\) ф /(яг). Для однолистной функции w; = f(z) прообраз z = f~l(w) можно рассматривать как однозначную функцию /-1 : /(?>) -"Ф переменной w. Если комплексная функция w = f(z) не является однолистной, то можно говорить об обратной функции, однако она будет уже многозначной. Пример 1.4. Функции w - z2 и w - ег однозначные, но не однолистные. Их обратные функции z = \/w и z = In w соответственно являются многозначными.

Многозначность ряда функций можно устранить с помощью построения римановых поверхностей. Это поверхности со сложной топологией (формой). Многозначная функция определяется на своей римановой поверхности. На рис.1.6 показано, как это делается для функции z - \/w.